题目内容
（2008•福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．
【答案】分析：（1）当t=2时，可分别计算出BP、BQ的长，再对△BPQ的形状进行判断；
（2）∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；
（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．
解答：
解：（1）△BPQ是等边三角形
当t=2时
AP=2×1=2，BQ=2×2=4
∴BP=AB-AP=6-2=4
∴BQ=BP
又∵∠B=60°
∴△BPQ是等边三角形；
（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=
t
由AP=t，得PB=6-t
∴S△BPQ=
×BP×QE=
（6-t）×
t=-
t
∴S=-
t；
（3）∵QR∥BA
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等边三角形
∴QR=RC=QC=6-2t
∵BE=BQ•cos60°=
×2t=t
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t
∴EP∥QR，EP=QR
∴四边形EPRQ是平行四边形
∴PR=EQ=
t
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°
∴tan60°=
即
解得t=
∴当t=
时，△APR∽△PRQ．
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
（2）∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；
（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．
解答：
解：（1）△BPQ是等边三角形当t=2时
AP=2×1=2，BQ=2×2=4
∴BP=AB-AP=6-2=4
∴BQ=BP
又∵∠B=60°
∴△BPQ是等边三角形；
（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=
t由AP=t，得PB=6-t
∴S△BPQ=
×BP×QE=（6-t）×t=-t∴S=-
t；（3）∵QR∥BA
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等边三角形
∴QR=RC=QC=6-2t
∵BE=BQ•cos60°=
×2t=t∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t
∴EP∥QR，EP=QR
∴四边形EPRQ是平行四边形
∴PR=EQ=
t又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°
∴tan60°=
即
解得t=
∴当t=
时，△APR∽△PRQ．点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
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