题目内容
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2.(1)利用配方法求出求根公式;
(2)用求根公式求证:x1+x2=-
b |
a |
c |
a |
(3)设方程
1 |
2 |
1 | ||
|
1 | ||
|
分析:(1)由a不为0,在方程两边同时除以a,把二次项系数化为1,然后把常数项移项到方程右边,两边都加上一次项系数一半的平方即(
)2,左边变为完全平方式,右边大于等于0时,开方即可得到求根公式;
(2)由求根公式求出的两个根相加、相乘,化简后即可得证;
(3)找出原方程的a,b及c的值,计算出b2-4ac,其值大于0,故方程有两个不等的实数根,根据(2)的结论求出两根之和与两根之积,
①把原式配方后变为关于两个根相加及相乘的形式,把求出的两个之和与两根之积代入即可求出值;
②把原式通分后分子利用①求出的结果整体代入,分母变为两根之积的平方,将两根之积代入,即可求出值.
b |
2a |
(2)由求根公式求出的两个根相加、相乘,化简后即可得证;
(3)找出原方程的a,b及c的值,计算出b2-4ac,其值大于0,故方程有两个不等的实数根,根据(2)的结论求出两根之和与两根之积,
①把原式配方后变为关于两个根相加及相乘的形式,把求出的两个之和与两根之积代入即可求出值;
②把原式通分后分子利用①求出的结果整体代入,分母变为两根之积的平方,将两根之积代入,即可求出值.
解答:解:(1)ax2+bx+c=0(a≠0)
∵a≠0,∴两边同时除以a得:
二次项系数化为“1”得:x2+
x+
=0
移项得:x2+
x=-
配方得:x2+2•x•
+(
)2=(
)2-
(x+
) 2=
∵a≠0,∴4a2>0
当b2-4ac≥0时,直接开平方得:
x+
=
∴x=
,
∴x1=
,x2=
;
(2)对于方程:ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c是常数),
当△≥0时,利用求根公式,得
x1=
+
,x2=
-
.
∵x1+x2=
+
+
-
=-
,
x1x2=(
+
)•(
-
)=(
)2-(
)2=
.
∴x1+x2=-
,x1x2=
是正确的;
(3)方程
x2-7x+3=0中,
∵a=
,b=-7,c=3,
∴b2-4ac=49-6=43>0,
则x1+x2=-
=-
=14,x1x2=
=
=6,
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=142-2×6=196-12=184;
②
+
=
=
=
=
.
∵a≠0,∴两边同时除以a得:
二次项系数化为“1”得:x2+
b |
a |
c |
a |
移项得:x2+
b |
a |
c |
a |
配方得:x2+2•x•
b |
2a |
b |
2a |
b |
2a |
c |
a |
(x+
b |
2a |
b2-4ac |
4 a2 |
∵a≠0,∴4a2>0
当b2-4ac≥0时,直接开平方得:
x+
b |
2a |
±
| ||
2a |
∴x=
-b±
| ||
2a |
∴x1=
-b+
| ||
2a |
-b-
| ||
2a |
(2)对于方程:ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c是常数),
当△≥0时,利用求根公式,得
x1=
-b |
2a |
| ||
2a |
-b |
2a |
| ||
2a |
∵x1+x2=
-b |
2a |
| ||
2a |
-b |
2a |
| ||
2a |
b |
a |
x1x2=(
-b |
2a |
| ||
2a |
-b |
2a |
| ||
2a |
-b |
2a |
| ||
2a |
c |
a |
∴x1+x2=-
b |
a |
c |
a |
(3)方程
1 |
2 |
∵a=
1 |
2 |
∴b2-4ac=49-6=43>0,
则x1+x2=-
b |
a |
-7 | ||
|
c |
a |
3 | ||
|
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=142-2×6=196-12=184;
②
1 | ||
|
1 | ||
|
x12+x22 |
(x1x2) 2 |
184 |
142 |
184 |
196 |
46 |
49 |
点评:此题考查了利用配方法推导求根公式,由求根公式推导根与系数的关系,以及根与系数关系的运用,其中利用配方法推导求根公式是一个难点,要求学生必须掌握推导过程每一步的依据,即要搞清为什么,根与系数关系应用的前提必须是一元二次方程有解,即b2-4ac≥0,在运用根与系数关系时,往往利用配方,提取公因式,通分等方法把所求的式子化为与两根之和及两根之积有关的式子,然后把求出的两根之和与两根之积整体代入即可求出值.
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