题目内容
(2007•德阳)如图,已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线的顶点为C(3,4),抛物线l2与l1关于x轴对称,顶点为C′.(1)求抛物线l2的函数关系式;
(2)已知原点O,定点D(0,4),l2上的点P与l1上的点P′始终关于x轴对称,则当点P运动到何处时,以点D,O,P,P′为顶点的四边形是平行四边形;
(3)在l2上是否存在点M,使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】分析:(1)抛物线l1,l2关于x轴对称,那么C、C′也关于x轴对称,据此可求出C′的坐标.然后根据A、B、C′三点坐标即可求出抛物线l2的解析式;
(2)由于PP′总关于x轴对称,因此PP′∥y轴,根据平行四边形的判定定理可知,只有当OD=PP′时,以点D,O,P,P′为顶点的四边形是平行四边形.可设出P点的横坐标,然后根据抛物线的解析式表示出P点纵坐标,由于PP′关于x轴对称,因此PP′的长就是P点纵坐标绝对值的2倍,然后根据上面得出的等量关系可求出P点的坐标;
(3)假设存在这样的点M,过M作ME⊥x轴于E,可在直角三角形AMB中,根据特殊角的度数、AB的长以及射影定理求出M点的坐标,然后将M的坐标代入抛物线的解析式中进行判断即可.
解答:解:(1)由题意知点C′的坐标为(3,-4).
设l2的函数关系式为y=a(x-3)2-4.
又∵点A(1,0)在抛物线y=a(x-3)2-4上,
∴(1-3)2a-4=0,解得a=1.
∴抛物线l2的函数关系式为y=(x-3)2-4(或y=x2-6x+5);
(2)∵P与P′始终关于x轴对称,
∴PP′与y轴平行.
设点P的横坐标为m,则其纵坐标为m2-6m+5,
∵OD=4,
∴2|m2-6m+5|=4,即m2-6m+5=±2.
当m2-6m+5=2时,解得m=3±
.
当m2-6m+5=-2时,解得m=3±
.
∴当点P运动到(3-
,2)或(3+
,2)或(3-
,-2)或(3+
,-2)时,
P′P平行且等于OD,以点D,O,P,P′为顶点的四边形是平行四边形;
(3)满足条件的点M不存在.理由如下:
若存在满足条件的点M在l2上,则∠AMB=90°,
∵∠BAM=30°(或∠ABM=30°),
∴BM=
AB=
×4=2.
过点M作ME⊥AB于点E,可得∠BME=∠BAM=30°.
∴EB=
BM=
×2=1,EM=
,OE=4.
∴点M的坐标为(4,-
).
但是,当x=4时,y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-
.
∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形.
点评:本题主要考查了轴对称图形的性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识点,综合性强,难度较大.
(2)由于PP′总关于x轴对称,因此PP′∥y轴,根据平行四边形的判定定理可知,只有当OD=PP′时,以点D,O,P,P′为顶点的四边形是平行四边形.可设出P点的横坐标,然后根据抛物线的解析式表示出P点纵坐标,由于PP′关于x轴对称,因此PP′的长就是P点纵坐标绝对值的2倍,然后根据上面得出的等量关系可求出P点的坐标;
(3)假设存在这样的点M,过M作ME⊥x轴于E,可在直角三角形AMB中,根据特殊角的度数、AB的长以及射影定理求出M点的坐标,然后将M的坐标代入抛物线的解析式中进行判断即可.
解答:解:(1)由题意知点C′的坐标为(3,-4).
设l2的函数关系式为y=a(x-3)2-4.
又∵点A(1,0)在抛物线y=a(x-3)2-4上,
∴(1-3)2a-4=0,解得a=1.
∴抛物线l2的函数关系式为y=(x-3)2-4(或y=x2-6x+5);
(2)∵P与P′始终关于x轴对称,
∴PP′与y轴平行.
设点P的横坐标为m,则其纵坐标为m2-6m+5,
∵OD=4,
∴2|m2-6m+5|=4,即m2-6m+5=±2.
当m2-6m+5=2时,解得m=3±

当m2-6m+5=-2时,解得m=3±

∴当点P运动到(3-




P′P平行且等于OD,以点D,O,P,P′为顶点的四边形是平行四边形;
(3)满足条件的点M不存在.理由如下:

若存在满足条件的点M在l2上,则∠AMB=90°,
∵∠BAM=30°(或∠ABM=30°),
∴BM=


过点M作ME⊥AB于点E,可得∠BME=∠BAM=30°.
∴EB=



∴点M的坐标为(4,-

但是,当x=4时,y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-

∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形.
点评:本题主要考查了轴对称图形的性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识点,综合性强,难度较大.

练习册系列答案
相关题目