Question

（2002•扬州）如图，在平面直角坐标系中，以点A（-1，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在⊙A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，已知CF=．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：AE∥BF；
（3）延长BF交y轴于点D，求点D的坐标及直线BD的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为以点A（-1，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在⊙A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，可连接AF，由切线的性质可得∠AFC=90°，因为CF=，由勾股定理可求AC===3，进而求出C的坐标；
（2）根据OA⊥OD，AO是半径，可得OD是⊙A的切线，因为EF是⊙A的切线，所以EF=EO，进而可证△AFE≌△AOE，
得∠EAC=∠FAE=∠FAO，因为∠B=∠FAO，所以∠B=∠EAC，AE∥BF．
（3）可作FM⊥BC于M，利用直角三角形的面积可求FM==，利用勾股定理可求MC==，进而求出OM=MC-OC，写出F的坐标即可；
因为延长BF交y轴于点D，已知B、F的坐标，所以可设BF为y=kx+b，利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+，令x=0，求出y的值，即可求出D的坐标．
解答：（1）解：因为以点A（-1，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在⊙A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，连接AF．
所以OA=AB=AF=1，∠AFC=90°，
因为CF=，由勾股定理得AC===3．
所以OC=3-1=2，
所以C（2，0）．

（2）证明：∵OA⊥OD，AO是半径，
∴OD是⊙A的切线．
∵EF是⊙A的切线，
∴EF=EO
∵AE=AE，AF=AO，
∴△AFE≌△AOE．
∴∠EAC=∠FAE=∠FAO，
∵∠B=∠FAO，
∴∠B=∠EAC．
∴AE∥BF．

（3）解：作FM⊥BC于M，因为FM==，MC==，OM=MC-OC=
∴F（-，）．
设BF为y=kx+b，
则
解之，得．
所以直线BD的解析式为y=x+．
令x=0，则y=，所以D（0，）．
点评：本题需综合利用待定系数法、勾股定理、圆的切线来解决问题．