Question

二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．

Answer 1

分析：（1）根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB=OC．求出点C的坐标为（0，5）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入解析式，可求出a、b、c的值．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（4，0）
∴AO=1，OB=4，
AB=AO+OB=1+4=5，
∴OC=5，即点C的坐标为（0，5）；

（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c
由于这个函数图象过点（0，5），可以得到C=5，又由于该图象过点（-1，0），（4，0），则：

a-b+5=0 16a+4b+5=0

，
解方程组，得

a=- 5 4 b= 15 4

∴所求的函数解析式为y=-

5

4

x²+

15

4

x+5
∵a=-

5

4

＜0
∴当x=-

15 4

2×(- 5 4 )

=

3

2

时，y有最大值

4ac-b2

4a

=

4×(- 5 4 )×5-( 15 4 )2

4×(- 5 4 )

=

125

16

；

解法2：
设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1）
∵点C（0，5）在图象上，
∴把C坐标代入得：5=a（0-4）（0+1），解得：a=-

5

4

，
∴所求的二次函数解析式为y=-

5

4

（x-4）（x+1）
∵点A，B的坐标分别是点A（-1，0），B（4，0），
∴线段AB的中点坐标为（

3

2

，0），即抛物线的对称轴为直线x=

3

2

∵a=-

5

4

＜0
∴当x=

3

2

时，y有最大值y=-

5

4

(

3

2

-4)(

3

2

+1)=

125

16

．

点评：解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，顶点坐标为x=-

b

2a

，y=

4ac-b2

4a

．