题目内容
王老师给出了一个二次函数的若干特点，要求甲、乙、丙三名同学按照这些特点求出它的解析式并画出它的图象，然后根据图象再说出一些特征．甲同学首先求出解析式、画完图象并回答，他说：①抛物线的顶点为（1，-8）；②抛物线与y轴的交点在x轴的下方； ③抛物线开口向上；
乙同学第二个求出解析式并画出图象，他回答：①抛物线的对称轴为直线x=1； ②抛物线经过四个象限；③抛物线与x轴的两个交点间的距离为6；
丙同学最后一个完成任务，他说了他的看法：①甲、乙的各种说法都不对；②抛物线过（-1，5）和（5，5）；③抛物线不过（-1，0）．
王老师听了他们的意见，作出了评价，他说：“与正确的函数的图象比较，你们三个人中，有一个人三句话都回答正确了，还有一个同学有两句话是对的，另外一个同学很遗憾，回答得都不对”
请你根据王老师的评价，分析一下，哪一位同学的说法都是正确的，并根据正确的说法，求出这条抛物线的解析式．
【答案】分析：（1）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；
（2）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线x=2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（1）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（-1，0）；
（3）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线经过（-1，0），那么抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；
由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，-8），且经过点（-1，0），从而可求出抛物线的解析式．
解答：解：（1）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，
因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；
（2）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线x=2，
这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（1）中的判断相矛盾，
所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．
也就是说，这条抛物线一定过点（-1，0）；
（3）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线经过（-1，0），
那么抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；
由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，-8），且经过点（-1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2-8，
∵抛物线过点（-1，0），
∴0=a（-1-1）2-8，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）2-8，
即：y=2x2-4x-6．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式及函数图象与性质，难度较大，关键是掌握二次函数的性质及用待定系数法求函数解析式．
（2）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线x=2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（1）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（-1，0）；
（3）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线经过（-1，0），那么抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；
由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，-8），且经过点（-1，0），从而可求出抛物线的解析式．
解答：解：（1）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，
因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；
（2）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线x=2，
这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（1）中的判断相矛盾，
所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．
也就是说，这条抛物线一定过点（-1，0）；
（3）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线经过（-1，0），
那么抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；
由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，-8），且经过点（-1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2-8，
∵抛物线过点（-1，0），
∴0=a（-1-1）2-8，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）2-8，
即：y=2x2-4x-6．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式及函数图象与性质，难度较大，关键是掌握二次函数的性质及用待定系数法求函数解析式．
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