Question

如图，小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起，若保持△BCD不动，将△ACE绕直角顶点C旋转．

（1）如图1，如果CD平分∠ACE，那么CE是否平分∠BCD？答：______（填写“是”或“否”）；
（2）如图1，若∠DCE=35°，则∠ACB=______°；若∠ACB=140°，则∠DCE=______°；
（3）当△ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为______；当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，上述关系是否依然成立，请说明理由；
（4）在图1中，若∠BCE=∠D，请你猜想CE与BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）是；

（2）145，40；
∵∠DCE=35°，
∴∠ACD=55°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=90°+55°=145°；
同理，∠ACB=140°，∠ACD=∠ACB-∠DCB=50°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=40°；

（3）∠ACB+∠DCE=180°；
成立；
∵∠ACE+∠DCB=180°，
∴∠ACB+∠DCE=360°-（∠ACE+∠DCB）=180°；

（4）CE⊥BD．
∵∠BCE=∠D，∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠D+∠ECD=90°，
∴∠CFD=90°，
∴CE⊥BD．
分析：（1）CD平分∠ACE，那么可得∠DCE=45°，进而求得∠BCF是45°，那么CE平分∠BCD；
（2）由∠DCE=35°可先求出∠ACD=55°，再结合∠ACB=∠DCB+∠ACD，∠BCD=90°即可求解；
同理，由∠ACB=140°，可先求出∠ACD从而求出∠DCE．
（3）四个角组成一个周角，有2个角是90°，和为180°，那么，∠ACB+∠DCE=180°；
（4）易知∠D和∠B互余，∠BCE=∠D那么∠DCE和∠D互余，CE与BD垂直．
点评：注意直角三角形中直角的应用，以及隐含条件周角的度数为360°．