题目内容
(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系
中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知
，
，△ABC的面积
，抛物线
经过A、B、C三点。
1.(1)求此抛物线的函数表达式；
2.(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
3.(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为
？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1.解：（1）∵
，设
，则
∴
又
，∴
∵
∴
，即
。
而
，∴
。
∴
,
∴△ABC三个顶点的坐标分别是
,
,
∵抛物线
经过A、B、C三点，
∴设
，把代入得
∴此抛物线的函数表达式为
2.（2）设点E的坐标为
，
∵点E在Y轴右侧的抛物线上，∴
。
有抛物线的对称性，知点F与点E关于抛物线的对称轴x=2对称，
易得点F的坐标为
。
要使矩形EFGH能成为正方形，有
,
则
∴
①
或
②
由①得，
，解得
（舍去）
由②得，
，解得
（舍去）
当
时，
此时正方形EFGH的边长为
。
当
时，
此时正方形EFGH的边长为
。
∴当矩形EFGH为正方形时，该正方形的边长为或
3.（3）假设存在点M，使△MBC中BC边上的高为
。
∴M点应在与直线BC平行，且相距的两条平行直线
和
上。
由平行线的性质可得：和与y轴的交点到直线BC的距离也为。
如图，设与y轴交于P点,过P作PQ与直线BC垂直，垂足为点Q，
∵，
∴∠OBC=∠OCB=45°
在Rt△PQC中，
，∠PCQ=∠OCB=45°
∴由勾股定理，得
∴直线与y轴的交点坐标为P(0,9)
同理可求得：与y轴交点坐标为
，
易知直线BC的函数表达式
。
∴直线和的函数表达式分别为
。
根据题意，列出方程组：①
，②
由①得，
，解得
；
由②得，
∵△=-31<0
∴此方程无实数根。
∴在抛物线上存在点M，使△MBC中BC边上的高为，其坐标分别为：
另解：易求直线BC的表达式为：
整理得
设
由点到直线的距离得
解得
∴
或
（无实数根）
∴
或
代入得。
解析:略
的图象经过A、B两点，根据图中信息解答下列问题：
同侧，在直线
，连接
，与直线
