Question

如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅先将AB边放在地面（直线l）上．
（1）请直接写出AB，AC的长；
（2）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点B翻转到△A₁BC₁位置（BC₁在l上），最后沿BC₁的方向平移到△A₂B₂C₂的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A₂C₂恰好靠在墙边）．画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度．
（3）若没有墙，像（2）那样翻转，将△ABC按顺时针方向绕点B翻转到△A₁BC₁位置为第一次翻转，又将△A₁BC₁按顺时针方向绕点C₁翻转到△A₂B₂C₁（A₁C₁在l上）为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的三边关系，30°的角所对的直角边是斜边的一半，可以直接确定AB、AC．
（2）根据要求画出路径，再用弧长公式求解路径的长度．
（3）根据题意得到Rt△ABC在直线l上转动两次点A分别绕点B旋转120°和绕C旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．

解答：解：（1）∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC=

3

米．

（2）画出A点经过的路径：
∵∠ABA₁=180°-60°=120°，A₁A₂=AC=

3

米
∴A点所经过的路径长=

120

180

•π•2+

3

=

4

3

π+

3

≈5.9（米）．

（3）在Rt△ABC中，∵BC=1，AC=

3

∴AB=2，∠CBA=60°，
∴弧AA₁=

120

180

π×2=

4

3

π，
弧A₁A₂=

90

180

π×

3

=

3

2

π，
∴点A经过的路线的长是

4

3

π+

3

2

π．
故两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度为是

4

3

π+

3

2

π．

点评：考查了弧长的计算，旋转的性质，解直角三角形，本题是动点问题，关键是要确定动点规律或特性，然后解答．