题目内容

如图,在一个横截面为Rt△ABC的物体中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=1米.工人师傅先将AB边放在地面(直线l)上.
(1)请直接写出AB,AC的长;
(2)工人师傅要把此物体搬到墙边(如图),先按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置(BC1在l上),最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置,其平移的距离为线段AC的长度(此时A2C2恰好靠在墙边).画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径,并求出该路径的长度.
(3)若没有墙,像(2)那样翻转,将△ABC按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置为第一次翻转,又将△A1BC1按顺时针方向绕点C1翻转到△A2B2C1(A1C1在l上)为第二次翻转,求两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度.
分析:(1)根据直角三角形的三边关系,30°的角所对的直角边是斜边的一半,可以直接确定AB、AC.
(2)根据要求画出路径,再用弧长公式求解路径的长度.
(3)根据题意得到Rt△ABC在直线l上转动两次点A分别绕点B旋转120°和绕C旋转90°,将两条弧长求出来加在一起即可.
解答:解:(1)∵∠CAB=30°,BC=1米
∴AB=2米,AC=
3
米.

(2)画出A点经过的路径:
∵∠ABA1=180°-60°=120°,A1A2=AC=
3

∴A点所经过的路径长=
120
180
•π•2+
3
=
4
3
π+
3
≈5.9(米).

(3)在Rt△ABC中,∵BC=1,AC=
3

∴AB=2,∠CBA=60°,
∴弧AA1=
120
180
π×2=
4
3
π,
弧A1A2=
90
180
π×
3
=
3
2
π,
∴点A经过的路线的长是
4
3
π+
3
2
π.
故两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度为是
4
3
π+
3
2
π.
点评:考查了弧长的计算,旋转的性质,解直角三角形,本题是动点问题,关键是要确定动点规律或特性,然后解答.
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