Question

七（1）班同学上数学活动课，他们对一个角的平分线作如下研究（如图）．他们先用角尺做了平分这个角的方案设计：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，若移动角尺使角尺两边相同刻度的点与M、N重合，即PM=PN，则过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，若将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同刻度的点与M、N重合，即PM=PN，则过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）是否可行？答：______（填“行”或“不行”）；
（2）方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．
（3）在活动过程中，小明说：“若设∠AOB=60°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=1：3，那么射线OC与∠AOB的平分线所成角的度数是多少呢？”请你通过求解告诉小明．

Answer 1

（1）解：不行；缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；

（2）方案（Ⅱ）可行，
证明：在△OPM和△OPN中
∵，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等），
∴OP就是∠AOB的平分线．

（3）解：①若OC在∠AOB内部（如图1），
∵∠AOC：∠COB=1：3，
∴设∠AOC=x，∠COB=3x，
∵∠AOB=60°，
∴x+3x=60°，
得x=15°，
即∠AOC=15°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∴∠COP=∠AOD-∠AOC=30°-15°=15°．
②若OC在∠AOB外部（如图，2），
∵∠AOC：∠COB=1：3，
∴设∠AOC=x，∠COB=3x，
∵∠AOB=60°，
∴3x-x=60°，
得x=30°，
∴∠AOC=x=30°，∠COB=3x=3×30°=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∴∠COP=∠AOC+∠AOP=30°+30°=60°．
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为15°或60°
分析：（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判断P就是∠AOB的角平分线，关键是缺少△OPM≌△OPN的条件，只有“边边”的条件；
（2）方案（Ⅱ）中根据三边对应相等的三角形可得△OPM和△OPN是全等三角形，则∠MOP=∠NOP，所以OP为∠AOB的角平分线；
（3）此题要分两种情况进行讨论，一种是OC在∠AOB内部；第二种情况是CO在∠AOB外部．
点评：此题主要考查了三角形全等以及角平分线，关键是要考虑全面，要注意各种情况，不要漏解．