Question

（2013•荆门）已知关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）
（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；
（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（平面内两点间的距离公式AB=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

）．

Answer 1

分析：（1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x²，直线的解析式为y=x+1，联立

y=x2 y=x+1

，得x²-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB=

2

AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=

10

；同理，当k=1，m=1时，AB=

10

；
（2）当k=1，m为任何值时，联立

y=x2-2mx+m2+m y=x+1

，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，同（1）可求出AB=

10

；
（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由

y=x2 y=1

，得A（-1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，联立

y=x2 y=x+1

，得x²-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，同（1）求出AB=

10

，则AB²=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA²+OB²=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；③当k为任意实数时，联立

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．

解答：解：（1）当k=1，m=0时，如图．
由

y=x2 y=x+1

得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AC=

2

|x₂-x₁|=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

10

；
同理，当k=1，m=1时，AB=

10

；

（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=

10

．理由如下：
由

y=x2-2mx+m2+m y=x+1

，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，
∴AB=

2

AC=

2

|x₂-x₁|=

2

( x   2 + x   1 )2-4 x   1 x

2

=

10

；

（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由

y=x2 y=1

，得A（-1，1），B（1，1），
显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由

y=x2 y=x+1

，得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
∴AB=

2

AC=

2

|x₂-x₁|=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

10

，
∴AB²=10，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（x₁+1）²+（x₂+1）²
=x₁²+x₂²+（x₁²+2x₁+1）+（x₂²+2x₂+1）
=2（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（x₁-x₂）²+（kx₁-kx₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（1+k²）（4+k²）
=k⁴+5k²+4，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）
=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2
=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB为直角三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想．