题目内容
【题目】如图,已知二次函数的图象经过点
,
,且与
轴交于点
,连接
、
、
.
(1)求此二次函数的关系式;
(2)判断的形状;若
的外接圆记为
,请直接写出圆心
的坐标;
(3)若将抛物线沿射线方向平移,平移后点
、
、
的对应点分别记为点
、
、
,
的外接圆记为
,是否存在某个位置,使
经过原点?若存在,求出此时抛物线的关系式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)直角三角形,(2,2)(3)存在,抛物线的关系式为
或
【解析】
试题分析:(1)根据待定系数法可直接代入得到方程组求值,得到函数的解析式;
(2)过点作
轴于点
,然后根据角之间的关系得到是直角三角形,最后根据坐标得到D点;
(3)取中点
,过点
作
轴于点
,根据勾股定理求出MC的长和OM的长,再通过平移的性质得到平移的距离,然后根据二次函数的平移性质可得到解析式.
试题解析:(1)把点,
代入
中得
,解得
,
所以所求函数的关系式为.
(2)为直角三角形.
过点作
轴于点
,
易知点坐标为
,所以
,所以
,
又因为点坐标为
,所以
,所以
,
所以,所以
为直角三角形,
圆心的坐标为
.
(3)存在.
取中点
,过点
作
轴于点
,
因为的坐标为
,
所以,
,
所以,
又因为,
所以,
所以要使抛物线沿射线方向平移,
且使经过原点,
则平移的长度为或
,
因为,
所以抛物线的顶点向左、向下均分别平移个单位长度,
或个单位长度.
因为.
所以平移后抛物线的关系式为,
即
或,即
.
综上所述,存在一个位置,使经过原点,此时抛物线的关系式为
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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