Question

我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：
（1）如图（1），在四边形ABCD中，BD为其中一条对角线，请你用尺规作图的方法找出BD的中点O；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，对角线BD的中点为O，连结OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．试说明直线AE是“好线”的理由；
（3）如图（3），AE为四边形ABCD一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．

Answer 1

分析：（1）分别以B、D为圆心，以大于

1

2

BD为半径作圆，两圆交于E、F，作直线EF交BD于O，则O为BD的中点．
（2）根据等底等高的三角形面积相等得出△ACO的面积和△AEC面积相等，推出△AMO的面积=△CME的面积，即可得出答案．
（3）连接EF，过A作EF的平行线交CD于M，作直线FM即可．

解答：解：（1）如图（1）点O为BD的中点；
．

（2）
理由是：∵AC∥OE，
∴△AOC的边AC上的高和△AEC的边AC上的高相等，
∴S_△AOC=S_△AEC，
∴S_△AOC-S_△AMC=S_△AEC-S_△AMC，
∴S_△AMO=S_△CME，
∵折线AOC是“好线”，
∴S_{四边形AMCB}+S_△AMO=S_△CME+S_{四边形DOME}+S_△AOD，
∴S_{四边形AECB}=S_△AED，
（3）
连接EF，过A作AM∥EF，交CD于M，作直线FM，
则直线FM为“好线”．

点评：本题考查了三角形的面积，平行线之间的距离的应用，注意：等底等高的三角形面积相等．