Question

求方程

x+y

x2-xy+y2

=

3

7

的所有整数解．

Answer 1

分析：将原方程化为关于x的一元二次方程，根据根的判别式求出y的取值范围，再根据y为整数，推出y的整数值，代入方程即可求出x的整数值．

解答：解：以x为主元，将方程整理为3x²-（3y+7）x+（3y²-7y）=0，
∵x是整数，
∴△=[-（3y+7）]²-4×3（3y²-7y）≥0，
∴

21-14 3

9

≤y≤

21+14 3

9

，
∴整数y=0，1，2，3，4，5．
将y的值分别代入原方程中计算知：只有y=4或5时，方程才有整数解，即
y=4时，x=5或x=

4

3

（舍去），
y=5时，x=4或

10

3

（舍去）．
故方程的所有整数解为

x=5 y=4

，

x=4 y=5

．

点评：此题结合方程考查了同学们的逻辑思维能力，解题的核心思路是推出变量的取值范围再进行试解，直到得出所需结论．