Question

如图．在△ABC的外接圆上，弧AB、弧BC、弧CA的度数比为12：13：11．在BC上取一点D．过点D分别作AC、AB的平行线，交BC于E、F两点，则∠EDF的度数为

65°

．

Answer 1

分析：首先设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，由弧AB、弧BC、弧CA的度数比为12：13：11，即可求得圆心角∠AOB与∠AOC的度数，又由圆周角定理，求得∠ABC与∠ACB的度数，DE∥AC，DF∥AB与三角形的内角和定理，即可求得∠EDF的度数．

解答：解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，
∵弧AB、弧BC、弧CA的度数比为12：13：11，
∴∠AOB=

12

12+13+11

×360°=120°，∠AOC=

11

12+13+11

=110°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=60°，∠ABC=

1

2

∠AOC=55°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠FED=∠ACB=60°，∠DFE=∠ABC=55°，
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-55°=65°．
故答案为：65°．

点评：此题考查了圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意辅助线的作法．