(2011•桃江县模拟)如图.已知抛物线F1:y=x2-2x+2.的顶点为P.与y轴的交点为A.与直线OP交于另一点B.将抛物线F1向右平移12个单位.再向下平移54个单位得抛物线F2.抛物线F2与x轴相交于D.C两点．(1)求直线OP及抛物线F2的函数关系式,(2)连接AC.探究OB与AC的关系.并说明理由,(3)在直线OB上是否存在点Q.使△DCQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2011•桃江县模拟）如图，已知抛物线F₁：y=x²-2x+2，的顶点为P，与y轴的交点为A，与直线OP交于另一点

B，将抛物线F₁向右平移

个单位，再向下平移

个单位得抛物线F₂，抛物线F₂与x轴相交于D、C两点（D在C的左边）．
（1）求直线OP及抛物线F₂的函数关系式；
（2）连接AC，探究OB与AC的关系，并说明理由；
（3）在直线OB上是否存在点Q，使△DCQ的周长最小？若存在，求Q点的坐标和△DCQ周长的最小值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）化成顶点式，即可求出P的坐标，根据平移性质求出F₂的顶点坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）设B（a，b），得出a=b，代入y=x²-2x+2求出B的坐标，解方程x²-3x+2=0求出C的坐标，根据坐标得出正方形OCBA，根据正方形性质求出即可；
（3）作D关于OP的对称点D′，求出D′的坐标，连接D′C交OP于Q，则Q为所求，求出直线CD′的解析式，求出直线CD′和直线OP的交点坐标，即可得出Q的坐标，根据勾股定理求出CD′的长，即可求出三角形的周长．

解答：（1）解：∵F₁：y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴P（1，1），
设直线OP的解析式为y=kx，
∴1=1×k，
即k=1，
∴直线OP的解析式为：y=x，
∵F₁的顶点坐标为P（1，1），
∴F₂的顶点坐标为（

，-

），
∴F₂的解析式为：y=(x-

)2-

，
即为：y=x²-3x+2，
答：直线OP的解析式是y=x，抛物线F₂的函数关系式是y=(x-

)2-

．

（2）解：设B（a，b），
∵直线OP：y=x与x轴的夹角是45°，
∴a=b，
∵B在抛物线y=x²-2x+2上，
∴a=a²-2a+2，解得：a₁=2，a₂=1（舍去），
∴B（2，2），
又∵解方程x²-3x+2=0得：x₁=1，x₂=2，
∴D（1，0），C（2，0），
∵A（0，2），
∴OA=AB=BC=OC=2，
∵∠AOC=90°，
∴四边形OCBA为正方形，
∴OB=AC，OB⊥AC，OB与AC互相平分．

（3）解：作D点关于直线OP的对称点D′，连接D′C交OP于Q，