Question

如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．
（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、CF，线段AD与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（2）操作2，在图2，将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN，如图3，设正方形PQMN移动的时间为x秒，正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y，直接写出y与x之间的函数解析式；
（3）操作3：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL，如图4，求△ACK的面积．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质得到∠AOB=∠COF，然后证得△AOD≌△COF后即可证得AD=CF；
（2）分当0≤x≤4

2

-4时、当4

2

-4≤x≤2时、2≤x≤4

2

-2时、4

2

-2≤x≤4

2

时、x≥4

2

时五种情况列出两个变量之间的函数关系式即可；
（3）连接OK，利用内错角相等得到OK∥AC，然后得到S_△ACK=S_△AOC=8．

解答：解：（1）相等
由旋转的性质得∠AOB=∠COF，
在△AOD和△COF中，

AO=CO ∠AOB=∠COF OD=OF

∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；

（2）①当0≤x≤4

2

-4时，y=2²-

1

2

（2-x）²=-

1

2

x²+2x+2；
②当4

2

-4≤x≤2时，y=2²-

1

2

（2-x）²-

1

2

（4+x-4

2

）²；
③2≤x≤4

2

-2时，y=2²-

1

2

（4+x-4

2

）²；
④4

2

-2≤x≤4

2

时，y=

1

2

（4

2

-x）²
⑤x≥4

2

时，y=0．

（3）连接OK，
∵∠COK=∠ACO=45°，
∴OK∥AC，
∴S_△ACK=S_△AOC=8．

点评：本题考查了几何变换的综合题，难度较大，特别是第二题中的列函数关系式，更是个难点，动点问题往往是中考的热点考题之一．