Question

已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，y_B）（如图1）；过半圆上的点C（x_C，y_C）作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于

3

8

x_C²．
（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．设抛物线y=a₀x²+h₀过点P、Q，抛物线y=a₁x²+h₁过点P₁、Q₁，则h₀＞h₁”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）为例进行验证；
②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点，求K的纵坐标y_K的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知了△DOC的面积，那么x_c•|y_c|=

3

4

x_c²，因此

xc

yc

=

4

3

，根据圆的半径为5，根据勾股定理可得出C点横坐标的平方与纵坐标的平方的和为25，据此可求出C点的坐标．
（2）①根据四点坐标线求出两抛物线的解析式，然后比较h₀，h₁的值即可．
②本题考虑两个极限值即可：
一：当T运动到B点时，T与K，B重合，B点为抛物线的顶点，此时y_K最小．
二：当T运动到F点时，T、F重合，此时过F、B、C的抛物线的y_K值最大，由此可得出y_K的取值范围．

解答：解：（1）y_B=5=半径；

1

2

x_Cy_C=

3

8

x_C²，x_C²+y²_C=25，
得C（4，3）（2分）和C（4，-3）

（2）①过点P（4，3）、Q（3，5）的抛物线y=a₀x²+h₀
即为y=-

2

7

x²+

53

7

，得h₀=

53

7

．
过P₁（p+1，3）、Q₁（p，5）的抛物线y=a₁x²+h₁
为y=-

2

2p+1

•x²+

2p2+10p+5

2p+1

，
h₁=

2p2+10p+5

2p+1

．
h₀-h₁=

53

7

-

2p2+10p+5

2p+1

=

-2(7p+3)(p-3)

7(2p+1)

=

2(7p+3)(3-p)

7(2p+1)

，
∵MQ＞M₁Q₁，其中MQ=6，
∴0≤p=

1

2

M₁Q₁＜3，可知0≤p＜3；
∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，
因而得到h₀-h₁＞0，证得h₀＞h₁．
或者说明2p+1＞0，-14p²+36p+18在0≤p＜3时总是大于0，
得到h₀-h₁＞0．
②显然抛物线y=ax²+bx+c的开口方向向下，a＜0．
当T运动到B点时，这时B、T、K三点重合即B为抛物线的顶点，∴y_K≥5；
将过点T、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c沿x轴平移，使其对称轴为y轴，这时y_K不变．
则由上述①的结论，
当T在FB上运动时，过F（-3，5）、B（3，5）、C（4，3）三点的抛物线的顶点为最高点，
∴y_K≤

53

7

，
∴5≤y_K≤

53

7

．

点评：本题主要考查了勾股定理、坐标与图形性质、等腰梯形的性质以及二次函数的综合应用等知识点．