Question

6．阅读下列材料：
已知$1+2+3=\frac{{3（{1+3}）}}{2}$，$1+2+3+4=\frac{{4（{1+4}）}}{2}$，$1+2+3+4+5=\frac{{5（{1+5}）}}{2}$，…，
（1）推测1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；2+4+6+…+2n=n（n+1）
（2）计算1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）
（3）请用上述公式计算：101+103+105+…+999．

Answer 1

分析 （1）根据题意知连续整数的和等于序数的一半与首尾两数和的乘积，据此可得；
（2）利用（1）中的计算方法可得：连续奇数的和等于序数的平方；
（3）将原式变形为1+3+5+…+99+101+103+…+999-（1+3+5+…+99），再利用以上规律可得．

解答 解：（1）根据题意得1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$，n（n+1）；

（2）根据（1）知，1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）=$\frac{（n+1）（1+2n+1）}{2}$=（n+1）²；

（3）101+103+105+…+999=1+3+5+…+99+101+103+…+999-（1+3+5+…+99）
=500²-50²
=247500．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出等差数列的计算公式是解题的关键．