Question

惠民中学八年级数学学习兴趣小组的同学对“如图，AD是△ABC的边BC上的高，添加一个条件使△ABC是等腰三角形”这一问题展开讨论：添加∠BAD=∠CAD或BD=CD很容易说明△ABC是等腰三角形．也有同学提出：添加①AB+BD=AC+CD或②AB-BD=AC-CD也能说明△ABC是等腰三角形．我添加的是

①或②

（只能在①、②中选择一个）
证明：

Answer 1

分析：首先利用勾股定理，可得AB²=BD²+AD²①，AC²=CD²+AD²②，即可得AB²-BD²=AC²-CD²，然后利用平方差公式分解因式可得（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD），即可得当添加①AB+BD=AC+CD或②AB-BD=AC-CD是都能得到△ABC是等腰三角形．

解答：解：选择①或②，均可得（2分）．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，∵∠ADB═90°，
∴AB²=BD²+AD²①，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴AC²=CD²+AD²②，…（5分）
由①-②得：AB²-AC²=BD²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD），…（8分）
当AB+BD=AC+CD时，必有AB-BD=AC-CD（反之亦然），
则AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．…（10分）
故答案为：①或②．

点评：此题考查了等腰三角形的判定、勾股定理以及平方差公式分解因式的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．