题目内容
把一张长为20cm，宽为16cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽
略不计，如图2）．设剪去的正方形边长为x（cm），x为正整数．折成的长方体盒子底面积为y（cm2）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）折叠成的长方体盒子底面积是否有最大值？若有，请求出最大值，若没有，说明理由；
（3）你认为折叠成的无盖长方体盒子的侧面积有可能是192cm2吗？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．
解：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
y=（20-2x）（16-2x）=4x2-72x+320；
（2）设剪去的正方形边长为xcm，
由题意得：y=4x2-72x+320=4（x-9）2-4，
∵20-2x＞0，
∴x＜10，
又∵x为正整数，
∴当x=1时，y取得最大，最大值为252．
（3）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于192cm2，理由如下：
设剪去的正方形边长为xcm，
由题意，得 2[x（10-2x）+x（16-2x）]=192，
整理得2x2-9x+48=0
∵△=b2-4ac=81-4×2×48＜0，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52cm2．
分析：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得y=（20-2x）（16-2x）即可得出答案；
（2）可设剪去的正方形边长为xcm，根据二次函数最值求法求解即可；
（3）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的侧面积等于192 cm2，可得方程2[x（20-2x）+x（16-2x）]=192，再根据根的判别式作出判断．
点评：本题主要考查了矩形的面积的求法，二次函数的应用等知识点，根据面积的计算方法正确的表示出二次函数是解题的关键．
y=（20-2x）（16-2x）=4x2-72x+320；
（2）设剪去的正方形边长为xcm，
由题意得：y=4x2-72x+320=4（x-9）2-4，
∵20-2x＞0，
∴x＜10，
又∵x为正整数，
∴当x=1时，y取得最大，最大值为252．
（3）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于192cm2，理由如下：
设剪去的正方形边长为xcm，
由题意，得 2[x（10-2x）+x（16-2x）]=192，
整理得2x2-9x+48=0
∵△=b2-4ac=81-4×2×48＜0，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52cm2．
分析：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得y=（20-2x）（16-2x）即可得出答案；
（2）可设剪去的正方形边长为xcm，根据二次函数最值求法求解即可；
（3）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的侧面积等于192 cm2，可得方程2[x（20-2x）+x（16-2x）]=192，再根据根的判别式作出判断．
点评：本题主要考查了矩形的面积的求法，二次函数的应用等知识点，根据面积的计算方法正确的表示出二次函数是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
略不计，如图2）．设剪去的正方形边长为x（cm），x为正整数．折成的长方体盒子底面积为y（cm2）．
