Question

在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．
（1）求∠DAE的度数；
（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．
（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）

Answer 1

分析：（1）利用∠B=38°，∠C=70°，可先求∠BAC，再利用AE是∠BAC的角平分线，可求∠EAC，在Rt△ADC中，利用∠C=70°，可求∠DAC，从而可求∠DAE．
（2）根据角的度数可以判定是否为该角的平分线即可；
（3）解题方法与（1）一样，注意分析∠B与∠C的大小．

解答：解：（1）解：∵∠B=38°，∠C=70°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-38°-70°=72°，
又∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=36°，
又∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=20°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=36°-20°=16°
（2）∵∠DAE=16°，∠CAD=20°
∴AD不是∠EAC的平分线．
（3）（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=90°-β，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-α-β）=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵∠C＞∠B
∴当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°-

1

2

α-

1

2

β）=

1

2

α-β=

1

2

（α-β）．

点评：此题考查了三角形的内角和定理与三角形角平分线、高线的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．