题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,抛物线过点,,与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点在抛物线的对称轴上,当的周长最小时,求点 的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=;(2)(,);(3),.
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)首先求出对称轴,求出点A关于对称轴对称的点E的坐标,连接CE交对称轴与点D,则△ACD的周长最小,根据题意求出直线CE的解析式,然后得出点D的坐标;(3)分成以A为直角顶点和以C为直角顶点两种情况分别进行计算,得出点P的坐标.
试题解析:(1)、∵抛物线过点,,
∴∴∴抛物线的函数关系式为.
(2)、∵,∴抛物线的对称轴为直线.
设点为点关于直线的对称点,则点的坐标为.
连接交直线于点,此时的周长最小.
设直线的函数表达式为,代入的坐标,
则解得所以,直线的函数表达式为.
当时,.∴ 点的坐标为.
(3)、存在.
①当点为直角顶点时,过点作的垂线交轴于点,交对称轴于点.
∵,,
∴.
∵,,∴.
∴.
∴.∴.
∴点的坐标为.
设直线对应的一次函数的表达式为,代入的坐标,
则解得
所以,直线的函数表达式为.令,则.∴点的坐标为.
②当点为直角顶点时,过点作的垂线交对称轴于点,交轴于点.
与①同理可得是等腰直角三角形,∴.
∴点的坐标为.∵,,
∴.
∴直线的函数表达式为.
令,则.∴点的坐标为.
综上,在对称轴上存在点,,使成为以为直角边的直角三角形.
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