题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,抛物线过点,与轴交于点

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点在抛物线的对称轴上,当的周长最小时,求点 的坐标;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=;(2)();(3).

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)首先求出对称轴,求出点A关于对称轴对称的点E的坐标,连接CE交对称轴与点D,则ACD的周长最小,根据题意求出直线CE的解析式,然后得出点D的坐标;(3)分成以A为直角顶点和以C为直角顶点两种情况分别进行计算,得出点P的坐标.

试题解析:(1)、抛物线过点

抛物线的函数关系式为.

(2)、抛物线的对称轴为直线.

设点为点关于直线的对称点,则点的坐标为.

连接交直线于点,此时的周长最小.

设直线的函数表达式为,代入的坐标,

解得所以,直线的函数表达式为.

时,. 的坐标为.

(3)、存在.

当点为直角顶点时,过点的垂线交轴于点,交对称轴于点.

.

.

.

..

的坐标为.

设直线对应的一次函数的表达式为,代入的坐标,

解得

所以,直线的函数表达式为.令,则.的坐标为.

当点为直角顶点时,过点的垂线交对称轴于点,交轴于点.

同理可得是等腰直角三角形,.

的坐标为.

.

直线的函数表达式为.

,则.的坐标为.

综上,在对称轴上存在点,使成为以为直角边的直角三角形.

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