题目内容

【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1,有下列5个结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m (am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有_____________ (填序号)

【答案】①③④⑤

【解析】由抛物线的开口方向判断a0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c0的关系,然后根据根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

解:①图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴为x=1,能得到:a<0,c>0,-=1,

∴b=-2a>0,∴abc<0,此结论正确;

②当x=-1时,由图象知y<0,

x=-1代入解析式得:a-b+c<0,

∴b>a+c,

故②错误;

③图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴为x=1,能得到:a<0,c>0,-=1,

∴b=-2a

4a+2b+c=4a-4a+c>0,

∴③正确.

④∵由①②知b=-2ab>a+c,

2a<3b,④正确.

⑤∵x=1时,y=a+b+c(最大值),

x=m时,y=am2+bm+c,

∵m≠1的实数,

∴a+b+c>am2+bm+c,

∴a+b>m(am+b).

故选:B.

“点睛”此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2ab的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练应用.

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