Question

如图，已知C、D是双曲线，y=

m

x

在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），连接OC、OD．
（1）求证：y₁＜OC＜y₁+

m

y1

；
（2）若∠BOC=∠AOD=a，tana=

1

3

，OC=

10

，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y₁，OG=x₁，根据直角三角形中斜边大于直角边，以及两边之和大于第三边即可求解；
（2）已知OC的长，以及tanα的值，在直角△OCG中，即可解得OG，CG的长，得到C点的坐标；利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，再根据tanα的值即可求得D点的坐标，把C，D两点的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（3）根据C，D两点的坐标可以得到OC=OD，使S_△POC=S_△POD，即P到OC与OD的距离相等，则P一定在∠COD的角平分线上，即是∠COD的平分线与双曲线y=

3

x

的交点．

解答：（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y₁，OG=x₁．（1分）
∵点C（x₁，y₁）在双曲线y=

m

x

上，
∴x₁=

m

y1

∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，∴y₁＜OC＜y₁+

m

y1

（3分）

（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
tana=

OG

CG

=

1

3

，即

x1

y1

=

1

3

，y₁=3x₁
∵OC²=OG²+CG²，OC=

10

，
∴10=x₁²+y₁²，即10=x₁²+（3x₁）²
解之，得x₁=±1．∵负值不合题意，∴x₁=1，y₁=3．∴点C的坐标为（1，3）．（4分）
∵点C在双曲线y=

m

x

上，
∴3=

m

1

，即m=3
∴双曲线的解析式为y=

3

x

（5分）
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tana=

DH

OH

=

y2

x2

=

1

3

，即x₂=3y₂
又y₂=

3

x2

，则3y₂²=3．
解之，得y₂=±1．
∵负值不合题意，∴y₂=1，x₂=3
∴点D的坐标为（3，1）（6分）
设直线CD的解析式为y=kx+b．
则有

3=k+b 1=3k+b

，解得

k=-1 b=4

．
∴直线CD的解析式为y=-x+4．（7分）

（3）解：双曲线y=

3

x

上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，这个点P就是
∠COD的平分线与双曲线y=

3

x

的交点（8分）
证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD=

OH2+DH2

=

x22+y22

=

10

=OC
∴S_△POD=S_△POC．（10分）

点评：本题综合运用了三角形的边的关系定理，待定系数法求函数解析式，以及角平分线的性质，是一个难度较大的综合题．