Question

已知，直线y₁=k₁x和反比例函数y₂=

k2

x

的图象都经过点A（2，4）和点B，过A点作AE⊥x轴，垂足为E点．
（1）则k₁=

2

，k₂=

8

S_△AOE=

4

；
（2）根据图象，写出不等式k₁x＞

k2

x

的解集；
（3）P为x轴上的点，且△POA是以OA为腰的等腰三角形，求出P点的坐标；
（4）Q为坐标平面上的点，且以点B、O、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的所有Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A坐标代入正比例解析式中求出k₁的值，代入反比例解析式求出k₂的值，由A的坐标求出AE与OE的长，利用三角形面积公式求出三角形AOE面积即可；
（2）根据对称性求出B的坐标，利用图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）在直角三角形AOE中，有AE与OE长，利用勾股定理求出OA长，分两种情况考虑：以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₁，P₂两点，求出此时P₁与P₂的坐标；以A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₃，求出此时P₃的坐标即可；
（4）如图所示，过B作Q₁Q₂∥OE，截取BQ₁=BQ₂=OE=2，求出此时Q₁与Q₂的坐标；延长Q₁O，Q₂E，延长线交于点Q₃，求出此时Q₃坐标即可．

解答：解：（1）将A（2，4）代入直线y₁=k₁x得：4=2k₁，即k₁=2；
将A（2，4）代入反比例解析式y₂=

k2

x

得：4=

k2

2

，即k₂=8；
∵A（2，4），即AE=4，OE=2，
∴S_△AOE=

1

2

AE•OE=4；
                     
（2）由对称性得到B（-2，-4），
根据图象得：k₁x＞

k2

x

的解集为x＞2或-2＜x＜0；

（3）如图所示，在Rt△AOE中，AE=4，OE=2，
根据勾股定理得：OA=

42+22

=2

5

，
以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₁，P₂两点，
此时P₁（-2

5

，0），P₂（2

5

，0）；
以A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₃，此时P₃（4，0）；
综上，满足题意P的坐标为（-2

5

，0）或（2

5

，0）或（4，0）；

（4）如图所示，过B作Q₁Q₂∥OE，截取BQ₁=BQ₂=OE=2，此时Q₁（-4，-4），Q₂（0，-4）；
延长Q₁O，Q₂E，延长线交于点Q₃，此时Q₃（4，4）．
故答案为：2；8；4．

点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，第3、4问是探究性试题，注意点坐标找对找全．