题目内容
如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点
F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s
），FG的延长线交 AC于H，（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）你能不能用含x的式子来表示四边形OAHP面积呢？若能，请表示；若不能，请说明理由。
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
（
1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，∴
，
．∴FG＝
＝3cm．
∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ，∴OP∥AC．
∴ x ＝
＝
×3＝1.5（s）．∴当x为1.5s时，OP∥AC ．
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．
∵EG∥AH ，∴△EFG∽△AFH ．∴
．
∴
．∴ AH＝
（ x ＋5），FH＝
（x＋5）．
过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．
∵点O为EF中点，∴OD＝EG＝2cm．∵FP＝3－x ，
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP＝·AH·FH－·OD·FP
＝
x2＋
x＋3 （0＜x＜3
．
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
则S四边形OAHP＝
×S△ABC，∴x2＋x＋3＝××6×8,
∴6x2＋85x－250＝0,解得 x1＝
， x2＝ －
（舍去）．
∵0＜x＜3，
∴当x＝（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
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