Question

【题目】如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米／秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt，使∠BAQ=90°，，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直线m⊥l，过的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒.

(1)直接用含t的代数式表示BQ、DF；

(2)当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；

(3)点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）， ；

（2）矩形DEGF的最大面积为；

（3）或

【解析】试题分析：（1）AB与OD交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD的长，即可表示出FD；

（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；

（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可.

试题解析：（1）， ；

（2）DE=OD-OE=t+1-t=1-t， ，∴当t=时，矩形DEGF的最大面积为；

（3）当矩形DEGF为正方形时， ,解得.