题目内容
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+4x+n经过点A(1,0),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)若P是x轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求P点坐标.(直接写出答案)
【答案】(1)抛物线解析式为y=(x2)2+1,顶点坐标为(2,1);
(2)P点的坐标为(﹣+1,0)或(+1,0)或(﹣1,0).
【解析】试题分析:(1)将A点的坐标代入抛物线中,即可得出二次函数的解析式,把解析式换成顶点式即可求得顶点坐标.
(2)本题要分两种情况进行讨论:
①PA=AB,先根据抛物线的解析式求出B点的坐标,即可得出OB的长,进而可求出AB的长,也就知道了PB的长,由此可求出P点的坐标;
②PB=AB,此时P与A关于y轴对称,由此可求出P点的坐标.
解:(1)∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点A(1,0)
∴n=﹣3
∴y=﹣x2+4x﹣3;
∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1,
∴顶点坐标为(2,1);
(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3,
∴令x=0,则y=﹣3,
∴B点坐标(0,﹣3),AB=,
①当PA=AB时,PA=AB=,
∴OP=PA﹣OA=﹣1或OP=+1.
∴P(﹣+1,0)或(+1,0);
②当PB=AB时,P、A关于y轴对称,
∴P(﹣1,0)
因此P点的坐标为(﹣+1,0)或(+1,0)或(﹣1,0).
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