Question

三等分任意角是三大几何作图不能问题之一，古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法：在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O（如图①）；设所要三等分的角是∠MCN，以C为圆心，OP为半径作半圆交给定角的两边CM、CN于A、B两点；移动直尺，使直尺上的O点在AC的延长线上移动，P点在圆周上移动，当直尺正好通过B点时，连OPB，则有∠AOB=∠MCN．这种方法由于在直尺上作了一个记号，不符合尺规作图中直尺只能用来连线的规定，因此还不能算是严格意义上的尺规作图．
（1）动手实践操作，用以上方法三等分∠MCN，在图②中画出图形并标明相应字母；
（2）请你就阿基米德的作图方法给出证明．

Answer 1

（1）解：如图所示：

（2）证明：∵OP=PC=BC，
∴∠O=∠PCO，∠A=∠2，
设∠O=∠PCO=x，
∴∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x，
∴∠3=∠O+∠2=3x，
∴∠AOB=∠MCN．
分析：（1）根据题意画出图形即可，注意OP长度不变；
（2）根据等边对等角以及三角形外角的性质得出∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x，即可得出答案．
点评：此题主要考查了复杂作图以及三角形外角的性质以及等边对等角，根据已知条件用同一个未知数得出∠AOB与∠MCN关系是解题关键．