Question

（2013•房山区二模）已知二次函数y=x2+kx+

1

2

k-

7

2

．
（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x²+2（a+k）x+2a-k²+6k-4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．

Answer 1

分析：（1）表示出方程：x²+kx+

1

2

k-

7

2

=0的判别式，即可得出结论；
（2）二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，则可得当x=1时，函数值y＜0，再由关于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，可得出k的取值范围，从而得出k的整数值；
（3）将求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根据方程有大于0且小于3的实数根，可得出a的取值范围，继而得出a的整数值．

解答：（1）证明：x²+kx+

1

2

k-

7

2

=0，
△₁=b²-4ac=k²-4（

1

2

k-

7

2

）
=k²-2k+14
=k²-2k+1+13
=（k-1）²+13＞0，
∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）解：∵二次函数y=x²+kx+

1

2

k-

7

2

的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上，
∴当x=1时，函数值y＜0，
即1+k+

1

2

k-

7

2

＜0，
解得：k＜

5

3

，
∵关于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△₂=b²-4ac=（2k+3）²-4k²=4k²+12k+9-4k²=12k+9＞0，
∴k＞-

3

4

且k≠0，
∴-

3

4

＜k＜

5

3

且k≠0，
∴k=1；

（3）解：由（2）可知：k=1，
∴x²+2（a+1）x+2a+1=0，
解得x₁=-1，x₂=-2a-1，
根据题意，0＜-2a-1＜3，
∴-2＜a＜-

1

2

，
∴a的整数值为-1．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式、不等式组的整数解，对于此类综合题往往涉及的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．