题目内容
若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的边长，则这个三角形一定是（ ）
| A、等边三角形 | B、等腰三角形 | C、直角三角形 | D、等腰直角三角形 |
分析：求出x2+2ax+b2=0的两个根x1，x2；再求出方程x2+2cx-b2=0的两根x3，x4；分四种情况进行计算即可作出判断：①x1=x3，②x2=x4，③x1=x4，④x2=x3．
解答：解：解方程x2+2ax+b2=0得，
x1=
=-a+
，
x2=
=-a-
，
解方程x2+2cx-b2=0得，
x3=
=-c+
，
x4=
=-c-
，
∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，
∴①x1=x3，-a+
=-c+
；
移项得，c-a=
-
，
∵a≠c，
两边平方、并整理得，ac=
•
，
两边平方得，a2c2=（c2-b2）（a2-b2），
整理得，c2+b2=a2．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x2=x4时，得相同结果；
③x1=x4时，解得，等式不成立；
④x2=x3时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
故选C．
x1=
-2a+
| ||
| 2 |
| a2-b2 |
x2=
-2a-
| ||
| 2 |
| a2-b2 |
解方程x2+2cx-b2=0得，
x3=
-2c+
| ||
| 2 |
| c2+b2 |
x4=
-2c-
| ||
| 2 |
| c2+b2 |
∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，
∴①x1=x3，-a+
| a2-b2 |
| c2+b2 |
移项得，c-a=
| c2+b2 |
| a2-b2 |
∵a≠c，
两边平方、并整理得，ac=
| c2+b2 |
| a2-b2 |
两边平方得，a2c2=（c2-b2）（a2-b2），
整理得，c2+b2=a2．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x2=x4时，得相同结果；
③x1=x4时，解得，等式不成立；
④x2=x3时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
故选C．
点评：此题考查三角形的三边关系、一元二次方程的关系．求出方程的解，列出等式，是解题的关键．解答时要注意分类讨论．
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