Question

【题目】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.

(1)求证:AC平分∠DAO；

(2)若∠DAO=105°，∠E=30°；

①求∠OCE的度数. ②若⊙O的半径为 ，求线段CF的长.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析;(2)①45°;②4

【解析】试题分析：

(1) 要证AC平分∠DAO，就是要证∠DAC=∠OAC. 观察图形易知，在等腰三角形AOC中，∠OAC=∠OCA. 根据切线的性质定理可知，OC⊥CD，结合已知条件易知AD∥OC. 利用内错角的相等关系，可以证明∠OCA=∠DAC，进而证明AC平分∠DAO.

(2) 由AD∥OC可知，∠DAO=∠EOC. 在△COE中，利用已知条件和三角形内角和，可以求得∠OCE的度数. 观察图形可知，线段CF是⊙O的一条弦. 考虑利用垂径定理的相关知识求解线段CF的长. 过圆心O作弦CF的垂线，垂足设为G，则点G为弦CF的中点. 根据垂直关系和∠OCE的度数不难发现△OGC是等腰直角三角形. 结合已知条件，在△OGC中利用勾股定理可以求得线段CG的长，进而得到线段CF的长.

试题解析：

(1) 证明：

∵直线CD与⊙O相切，点C在⊙O上，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，OC⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA.

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠DAO.

(2) ①∵AD∥OC，∠DAO=105°，

∴∠EOC=∠DAO=105°，

∵∠E=30°，

∴在△COE中，∠OCE=180°-∠EOC-∠E=180°-105°-30°=45°.

②

如图，过点O作OG⊥CE，垂足为G.

根据垂径定理，得FG=CG.

∵OG⊥CE，∠OCE=45°，即∠OCG=45°，

∴在Rt△OGC中，∠COG=∠OCG=45°，

∴CG=OG.

∵⊙O的半径为，

∴OC=，

∴在Rt△OGC中， .

∴CG=2.

∵FG=CG，

∴.