题目内容
【题目】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO；
(2)若∠DAO=105°，∠E=30°；
①求∠OCE的度数. ②若⊙O的半径为 
，求线段CF的长.
【答案】(1)答案见解析;(2)①45°;②4
【解析】试题分析：
(1) 要证AC平分∠DAO，就是要证∠DAC=∠OAC. 观察图形易知，在等腰三角形AOC中，∠OAC=∠OCA. 根据切线的性质定理可知，OC⊥CD，结合已知条件易知AD∥OC. 利用内错角的相等关系，可以证明∠OCA=∠DAC，进而证明AC平分∠DAO.
(2) 由AD∥OC可知，∠DAO=∠EOC. 在△COE中，利用已知条件和三角形内角和，可以求得∠OCE的度数. 观察图形可知，线段CF是⊙O的一条弦. 考虑利用垂径定理的相关知识求解线段CF的长. 过圆心O作弦CF的垂线，垂足设为G，则点G为弦CF的中点. 根据垂直关系和∠OCE的度数不难发现△OGC是等腰直角三角形. 结合已知条件，在△OGC中利用勾股定理可以求得线段CG的长，进而得到线段CF的长.
试题解析：
(1) 证明：
∵直线CD与⊙O相切，点C在⊙O上，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，OC⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA.
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAO.
(2) ①∵AD∥OC，∠DAO=105°，
∴∠EOC=∠DAO=105°，
∵∠E=30°，
∴在△COE中，∠OCE=180°-∠EOC-∠E=180°-105°-30°=45°.
②
如图，过点O作OG⊥CE，垂足为G.
根据垂径定理，得FG=CG.
∵OG⊥CE，∠OCE=45°，即∠OCG=45°，
∴在Rt△OGC中，∠COG=∠OCG=45°，
∴CG=OG.
∵⊙O的半径为
，
∴OC=
，
∴在Rt△OGC中， 
.
∴CG=2.
∵FG=CG，
∴
.
