Question

先阅读下面的材料，然后解答问题：
①x+

1

x

=2+

1

2

的解为x1=2，x2=

1

2

；
②x+

1

x

=3+

1

3

的解为x1=3，x2=

1

3

；
③x+

1

x

=4+

1

4

的解为x1=4，x2=

1

4

；
…
（1）观察上述方程的解的规律直接写出第④，⑤个方程及它们的解；
（2）请用一个含有正整数n的式子表示第n个方程及它的解，并用“方程的解”的概念进行验证；
（3）利用（2）的结论解关于x方程：

x2-x+1

x-1

=a+

1

a-1

．

Answer 1

分析：（1）（2）根据题意得出通项公式，即x+

1

x

=n+1+

1

n+1

，再将两个解代入即可验证；
（3）将原方程变形为x-1+

1

x-1

=a-1+

1

a-1

，由（2）得x-1=a-1，x-1=

1

a-1

，从而求得x．

解答：解：（1）x+

1

x

=5+

1

5

的解是x₁=5，x2=

1

5

，x+

1

x

=6+

1

6

的解是x₁=6，x2=

1

6

；
（2）x+

1

x

=n+1+

1

n+1

的解是x₁=n+1，x2=

1

n+1

；
（验证略）
（3）

x2-x+1

x-1

=a+

1

a-1

，
解：原方程可化为：x+

1

x-1

=a+

1

a-1

，
x-1+

1

x-1

=a-1+

1

a-1

，
∴x-1=a-1，或x-1=

1

a-1

，
∴x₁=a，x2=

1

a-1

+1=

a

a-1

．

点评：本题是一道找规律的题目，考查解分式方程的能力，
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）但含有字母参数的分式方程不验根．