Question

如图（1），形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm，矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从 左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC的重叠部分的面积为S（cm²）．当x=0（s）时，点E与点C重合．
（1）当x=3时，如图（2），S=

36

cm²，当x=6时，S=

54

cm²，当x=9时，S=

18

cm²；
（2）求S关于x的函数关系式；
（3）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

Answer 1

分析：（1）根据题意画图图形，然后由矩形的面积公式或者进行计算；
（2）当3＜x＜6时，重叠部分是不规则的四边形，不能直接用x表示，要采用面积的分割法来求，先求S_△ABC，S_△AMN，再求S_△BEH，然后求重叠部分的面积；当6＜x＜9时，重叠部分也是不规则的四边形，也采用面积的分割法来求，先求S_△ABC，S_△AHM，再求S_{四边形HGDC}，这样才能求出S与x的函数关系式；
（3）切点在线段AB上，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质进行解答．

解答：解：（1）当x=3时，CE=6cm．如图2所示，则S=CE•EF=6×6=36（cm²）；
当x=6时，CE=12cm．如图3所示，易证GH是△ACB的中位线，阴影部分为四边形GHBD，四边形GHBD为直角梯形，则
S=

GH+CE

2

×GD=

6+12

2

×6=54（cm²）
当x=9时，CE=18cm．如图4所示，易证阴影部分△GDO是等腰直角三角形，则S=

1

2

OD•GD=

1

2

×6×6=18（cm²）．
故答案分别是：36；54；18；

（2）①如图5，设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AC的交点为M；
∵BE=12-2x，AM=12-6=6，
∴S=S_△ABC-S_△AMN-S_△BHE=

1

2

×12×12-

1

2

×6×6-

1

2

×（12-2x）²=-2x²+24x-18，
∴当3＜x＜6时，S=-2x²+24x-18．
②如图6，设矩形DEFG与斜边AB的交点为M，延长FG交AC于点H；
∵AH=12-6=6，HG=2x-12，
∴S=S_△ABC-S_△AHM-S_矩形HCDG=

1

2

×12×12-

1

2

×6×6-

1

2

×6×（2x-12）=-12x+126，
∴当6＜x＜9时，S=-12x+126．
综上所述，S=

-2x2+24x-18(3＜x＜6) -12x+126(6＜x＜9)

；

（3）如图7，过点O作OD⊥AB于点P，由题意得OP=6cm；
∵∠ABC=45°，∠OPB=90°，
∴OB=

2

OP=6

2

cm，
∴x=

6+12-6 2

2

=9-3

2

（s）；

点评：本题考查了圆的综合题．解题时，把求函数关系式与三角形的有关知识有机结合起来，综合性比较强．对于这类动点问题，一定要分类讨论，以防漏解或错解．