Question

如图，G是正六边形ABCDEF的边CD的中点，连接AG交CE于点M，则GM：MA=

 

．

Answer 1

分析：延长CE交AF的延长线于H，延长DE交AF延长线于L，根据正六边形的内角和定理可求出各内角的度数，利用平角的性质及等边三角形的性质可求出△FEL是等边三角形；再根据AAS定理求出△CDE≌△HLE，可得出AF=FL=HL，再利用AF∥CD可得△CGM∽△HAM，由三角形的相似比即可求解．

解答：解：延长CE交AF的延长线于H，延长DE交AF延长线于L；
∵∠AFE=∠FED=∠CDE=

180°×(6-2)

6

=120°，
∴∠LFE=∠FEL=180°-120°=60°，
∴AF=EF=FL=EL；
∵∠HLE是△EFL的外角，
∴∠HLE=∠LFE+∠FEL=120°，
∴∠HLE=∠CDE；
∵∠CED=∠FEH，DE=EL，
∴△CDE≌△HLE，
∴CD=HL，
∴AH=3AF=3CD；
∵G是CD的中点，即CG=

1

2

CD，
∴CG：AH=

1

2

：3=1：6．
∵AF∥CD，
∴△CGM∽△HAM，GM：AM=CG：AH=

1

2

：3=1：6．

点评：本题难度较大，涉及到等边三角形、全等三角形及相似三角形的判定定理及性质，有一定的综合性，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．