题目内容
“等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个不变的已知条件参与组合得到的三个真命题，在学习了等腰三角形的判定后，可将该定理作如下的引伸．如图，已知△ABC，①AB=AC ②∠1=∠2 ③AD⊥BC ④BD=DC中，若其中任意两组成立，可推出其余两组成立．
显然以上六个命题中，有三个就是“等腰三角形的三线合一定理”，而其它三个是否成立，请你证明其中一个．（注意此题的得分要依题目本身证明的难易而定，请你选择）
已知：
求证：
证明：
分析：（1）选择②∠1=∠2，④BD=DC，证明①AC=AB．延长AD至E，使DE=AD，连接CE．通过证明△ABD≌△ECD，得出∠E=∠2，从而得证；
（2）选择①AB=AC ②∠1=∠2，证明③AD⊥BC．根据等腰三角形的三线合一定理即可得证．
（2）选择①AB=AC ②∠1=∠2，证明③AD⊥BC．根据等腰三角形的三线合一定理即可得证．
解答：
证明：（1）延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（SAS）…（2分）
∴AB=EC，∠1=∠E
∵∠1=∠2，
∴∠E=∠2
∴CE=AC=AB…（4分）
（2）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC．…（5分）
（注：此题采用本证法的得（5分），否则满分为4分）
证明：（1）延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在△ABD和△ECD中
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∴△ABD≌△ECD（SAS）…（2分）
∴AB=EC，∠1=∠E
∵∠1=∠2，
∴∠E=∠2
∴CE=AC=AB…（4分）
（2）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC．…（5分）
（注：此题采用本证法的得（5分），否则满分为4分）
点评：考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一定理，本题是开放性试题．
练习册系列答案
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