Question

探究题
如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）ⁿ（n为非负整数）的展开式中按a次幂从大到小排列的项的系数．规定任何非零数的零次幂为1，如（a+b）⁰=1．例如，
（a+b）¹=a+b展开式中的系数1、1恰好对应图中第二行的数字；
（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．
（1）请认真观察此图，写出（a+b）⁴的展开式，（a+b）⁴=

a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

．
（2）类似地，请你探索并画出（a-b）⁰，（a-b）¹，（a-b）²，（a-b）³的展开式中按a次幂从大到小排列的项的系数对应的三角形．
（3）探究解决问题：已知a+b=3，a²+b²=5，求ab的值．

Answer 1

分析：（1）根据已知图形得出即可．
（2）根据计算的结果画出图形即可．
（3）根据完全平方公式展开，代入求出即可．

解答：解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴，
故答案为：a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．

（2）

（3）（a+b）²=a²+b²+2ab，
∵a+b=3，a²+b²=5，
∴9=5+2ab，
∴ab=2．

点评：本题考查了对完全平方公式的应用，注意：（a+b）²=a²+2ab+b²．