题目内容

如图，在⊙O中AB是直径，D是上半圆中点，E是下半圆中点．点C是圆上一点（不与B、E重合）连接AD、BD、AC、BC．设BC长度为n，AC长度为m．
（1）当m=8，n=6时，求四边形ACBD的面积S；
（2）用含m、n的式子表示四边形ACBD的面积S；
（3）你可知道tan∠DAC= $数学公式$ 吗？请你详细说明理由；
（4）如图，当点C运动至弧AD或弧BD上时，（3）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接写答案）

解：（1）49；

（2）S= $\text{[math]}$ ；

（3）解：①②如图：

延长CB，过D点作DN垂直CB延长线于N，过D点作DM⊥MC于M．
∵∠DMC=∠ACB=∠N=90°
∴四边形DMCN为矩形
∴MDN=90°又∠ADB=90°
∴∠1=∠2
∵ $\text{[math]}$
∴△AMD≌△DNB
∴AM=BN，DM=DN
∴矩形DMCN为正方形
∴AC+BC=MC+NC
∴DM=MC=CN= $\text{[math]}$
∴S_{正方形DMCN}=MC²=S= $\text{[math]}$
∴AM=AC-MC=m- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴tan∠DAC= $\text{[math]}$ ；

4）Ⅰ、当点C运动至 $\text{[math]}$ 时tan∠DAC= $\text{[math]}$ ；
Ⅱ、当点C运动至 $\text{[math]}$ 时tan∠DAC= $\text{[math]}$ ．
可通过做C点关于O点的对称点进行转换（提示：tan∠CAD=tan∠ADM）再参照第②题的做法进行解答（辅助线如图，证明过程略）亦可连接AC、BD交于一点，或以CD为对角线构造正方形进行证明，请同学们自己思考．
分析：（1）过D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC于N；由于D是弧AB的中点，则AD=BD，可通过证△AMD≌△BDN来得出四边形DMCN是正方形的结论，从而可将四边形ACBD转化为正方形DMCN的面积；
（2）同（1）；
（3）由（1）知：DM=MC= $\text{[math]}$ （m+n），即可表示出AM的长，进而可在Rt△AMD中，求出tan∠DAC的表达式，进而可验证所给出的结论是否正确；
（4）本题可通过作C点关于O点的对称点进行转换，参照上面的解题思路，作出对应的正方形，此时AC∥CN∥DM，那么∠CAD=∠ADM，此时发现本题与（3）题完全相同，所以结论和证法也相同．
点评：此题考查了圆周角定理、正方形和矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，能够发现四边形ACBD与正方形的面积关系是解答此题的关键．