Question

四边形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，点A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），动点E自A点出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C→O的路线移动，同时，点D以每秒1个单位的速度从O出发沿着射线OA方向运动，点M为OD的中点，当点D与A重合时停止一切运动．
（1）当点D与A重合时，点E的坐标是

（0，2）

；
（2）设△MDE的面积为S，运动时间为t，请写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出AB、BC的长度，然后计算出点D与点A重合需要的时间t，再由点E的运动速度即可得出点E经过时间t后的位置．
（2）分别讨论点E位于AB、BC、OC上的情况，依次表示出S关于t的表达式，结合t的范围得出S的最大值，然后比较即可得出S的最大值．

解答：解：（1）当点D与点A重合时，t=10s，则点E运动的路程=2×10=20，
过点B作BH⊥OA于点H，
则AB=

BH2+AH2

=10，
又∵BC=4，OC=8，
故点E所到的位置为（0，2）；


（2）①当0＜t≤5时，过点B作BH⊥OA，过点E作EF⊥OA于点F，如图1所示：
则BH=8，AH=6，
易证△EFA∽△BHA，EF=2t×

4

5

，S=

1

2

×

t

2

×2t×

4

5

=

2

5

t2，
∵当t＞0时，S随t的增大而增大，
∴t=5时，S_大=10．
②当5＜t≤7时，如图2所示：
则S=

1

2

×

t

2

×8=2t，
当t=7时，S_大=14；
③当7＜t≤10时，如图3所示，
则S=

1

2

×

t

2

×(22-2t)=-

1

2

t2+

11

2

t，
当t＞

11

2

时，S随t的增大而减小，
∴t=7时，S_大=14；
综上可得：S=

2 5 t2(0＜t≤5) 2t(5＜t≤7) - 1 2 t2+ 11 2 t(7＜t≤10)

，
当t=7时，S取得最大，最大值为14．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，解答本题关键是讨论点E的位置，注意讨论t的取值范围，继而确定S关于t的表达式，要数形结合进行思考，难度较大．