Question

如图，点P是圆上一动点，弦AB=cm，PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．
（1）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？
（2）当PA的长为多少时，四边形PACB是梯形？说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得AC=BC，再根据已知条件得S_{四边形PACB}=S_△ABC+S_△PABS_△ABC，当S_△PAB最大时，四边形PACB面积最大，求出PC=2，从而计算出最大面积；
（2）已知四边形PACB为梯形，分两种情况：AC∥PB或PA∥BC，求出PA的长．
解答：解：（1）∵PC平分∠APB，
∴∠APC=∠BPC，
∴AC=BC
由，求得AC=BC=1，
∵S_{四边形PACB}=S_△ABC+S_△PAB，
S_△ABC为定值，
当S_△PAB最大时，四边形PACB面积最大，
由图可知四边形PACB由△ABC和△PAB组成
且△ABC面积不变，故要使四边形PACB面积最大，只需求出面积最大的△PAB即可
在△PAB中，AB边不变，其最长的高为过圆心O与AB垂直（即AB的中垂线）与圆O交点P，此时四边形PACB面积最大．此时△PAB为等边三角形，此时PC应为圆的直径∠PAC=90°
∵∠APC=∠BAC=30°
∴PC=2AC=2，
∴四边形PACB的最大面积为；（6分）

（2）若四边形PACB为梯形，则当AC∥PB时
由（1）知AC=BC=1，∠CAB=∠PBA=30°，
∴PA=BC=1，（8分）
当PA∥BC时，则∠PAB=∠ABC=30°，
在△PBA中，∠APB=60°，∠PAB=∠ABC=30°，
∴∠ABP=180°-60°-30°=90°，
此时PA为圆的直径，由（1）知PA=2，
∴当PA=1或2时，四边形PACB为梯形（12分）．
点评：本题考查了圆周角定理和梯形的性质，以及圆心角、弧、弦之间的关系，根据题意分类讨论是解题的关键．