题目内容

利客来超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设利客来超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围．

解：（1）设y=kx+b，由图象可知，
$\text{[math]}$ ，
解之，得 $\text{[math]}$ ，
∴y=-20x+1000（30≤x≤50，不写自变量取值范围不扣分）．

（2）p=（x-20）y
=（x-20）（-20x+1000）
=-20x²+1400x-20000．
∵a=-20＜0，
∴p有最大值．
当x=- $\text{[math]}$ =35时，p_最大值=4500．
即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

（3）当P=4180时，4180=-20x²+1400x-20000，
解得 x₁=31，x₂=39，
∵图象开口向下，x=35时，p有最大值4500，
∴绿色食品销售单价为31≤x≤39的范围时符合要求．
分析：（1）由图象过点（30，400）和（40，200）利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答；
（3）利用（2）的函数解析式即可得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，画出函数图象结合图形解答不等式的有关问题是目前解一元二次不等式的实用途径，也是解某些有限制条件的最值问题的有效方法，具有直观性，体现了数形结合的数学思想方法．