题目内容

一天，小明在做剪纸拼图游戏时，无意中，他把如图所示的一张正三角形纸片和一张扇形纸片叠在一起，且正三角形的中心O恰好为扇形的圆心，接着，他把扇形绕点O转动，…．
（1）小明思考这样一个问题：在把扇形绕点O转动时，两张纸片的重叠部分面积是否一定会保持不变呢？你能帮助小明解答这一问题吗？你若认为重叠部分面积能保持不变，请说明理由；若认为不能保持不变，请问对这两张纸片再增加什么条件，就能使得扇形绕点O转动过程中它们的重叠部分面积一定会保持不变？请说明理由．
（2）由这一游戏，你还能联想到怎样的图形在变换过程中，也具有类似的性质？请画出图形，并作简要阐述，不要求证明．

解：（1）两张纸片的重叠部分面积不一定会保持不变．应增加条件“扇形纸片的圆心角∠DOE为120°”
简证如下：连接OB、OC，因为点O是等边△ABC的中心，所以OB、OC为角平分线，且OB=OC，可证△OGB≌△OFC，从而重叠部分面积等于△OBC的面积，即等于等边△ABC的面积的 $\text{[math]}$ （定值）．

（2）由这一游戏，还能联想到如图所示的两个正方形：点O为正方形ABCD的对称中心，另一正方形OEFG绕点O旋转过程中，两个正方形的重叠部分面积保持不变，总是正方形ABCD的面积的 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为重叠部分总等于三角形面积的 $\text{[math]}$ ，可以先从三角形考虑，O为中心也就是与正三角形的中心角重合，所以应为120°，证明是要分两种情况：即特殊和一般，特殊情况时就是猜想所用的情况，显然成立，一般情况的证明从三角形全等把四边形的面积分解成两个三角形，最后再归到正三角形的中心角为120°的三角形．
（2）利用相同的作法还可以得到点O为正方形ABCD的对称中心，另一正方形OEFG绕点O旋转过程中，两个正方形的重叠部分面积保持不变，总是正方形ABCD的面积的 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；猜想时从三角形考虑是解答本题的突破点，证明时一般情况的证明容易被学生忽视．