题目内容
(2013•泸州)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(1,-
),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O为原点).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
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(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
分析:(1)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式;
(2)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标;
(3)设P(x,y)(-2<x<0,y>0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值.
(2)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标;
(3)设P(x,y)(-2<x<0,y>0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值.
解答:解:(1)将A(-2,0),B(1,-
),O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0),
可得:
,
解得:
,
故所求抛物线解析式为y=-
x2-
x;
(2)存在.理由如下:
如答图①所示,
∵y=-
x2-
x=-
(x+1)2+
,
∴抛物线的对称轴为x=-1.
∵点C在对称轴x=-1上,△BOC的周长=OB+BC+CO;
∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,
∵点O与点A关于直线x=-1对称,有CO=CA,
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA,
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为y=kx+t,则有:
,解得:
,
∴直线AB的解析式为y=-
x-
,
当x=-1时,y=-
,
∴所求点C的坐标为(-1,-
);
(3)设P(x,y)(-2<x<0,y>0),
则y=-
x2-
x ①
如答图②所示,过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=-x,PG=-y,
由题意可得:S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP
=
(AF+BE)•FE-
AF•FP-
PE•BE
=
(y+
+y)(1+2)-
y•(2+x)-
(1-x)(
+y)
=
y+
x+
②
将①代入②得:S△PAB=
(-
x2-
x)+
x+
=-
x2-
x+
=-
(x+
)2+
∴当x=-
时,△PAB的面积最大,最大值为
,
此时y=-
×
+
×
=
,
∴点P的坐标为(-
,
).
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可得:
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解得:
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故所求抛物线解析式为y=-
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2
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(2)存在.理由如下:
如答图①所示,
∵y=-
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2
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∴抛物线的对称轴为x=-1.
∵点C在对称轴x=-1上,△BOC的周长=OB+BC+CO;
∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,
∵点O与点A关于直线x=-1对称,有CO=CA,
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA,
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为y=kx+t,则有:
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∴直线AB的解析式为y=-
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当x=-1时,y=-
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∴所求点C的坐标为(-1,-
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(3)设P(x,y)(-2<x<0,y>0),
则y=-
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2
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如答图②所示,过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=-x,PG=-y,
由题意可得:S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP
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1 |
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1 |
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1 |
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=
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将①代入②得:S△PAB=
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=-
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=-
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1 |
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8 |
∴当x=-
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9
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8 |
此时y=-
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4 |
∴点P的坐标为(-
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点评:本题考查了坐标系中点的坐标求法,抛物线解析式的求法,根据对称性求线段和最小的问题,也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题;解答本题(3)也可以将直线AB向下平移至与抛物线相切的位置,联立此时的直线解析式与抛物线解析式,可求唯一交点P的坐标.
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