Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．

特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．

（1）当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1， ）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；

②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②0＜x＜2；（2）圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．

【解析】试题分析：（1） ①根据反称点的定义画图得出结论；②∵CP≤2r＝2 CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤，2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，把x＝2和x=0代入验证即可得出，P（2，0），P′（2，0）不符合题意P（0，2），P′（0，0）不符合题意，∴0＜x＜2

（2）求出A，B的坐标，得出OA与OB的比值，从而求出∠OAB=30°，设C（x，0）

①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4，得出 C点横坐标x≥2． （当x＝2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，∴C点横坐标x≤8，得出结论.

试题解析： （1）解：①M（2，1）不存在， 存在，反称点 存在，反称点T′（0，0）

②∵CP≤2r＝2 CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤4

2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，当x＝2时，P（2，0），P′（2，0）不符合题意

当x＝0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意，∴0＜x＜2

（2）解：由题意得：A（6，0），，∴，∴∠OAB＝30°，设C（x，0）

①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4， C点横坐标x≥2．

（当x＝2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）

②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，∴C点横坐标x≤8

综上所述：圆心C的横坐标的取值范围2≤x≤8．