Question

如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．
（1）观察猜想BG与DE之间的关系，并证明你的猜想；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）猜想BG⊥BD，且BG=DE，证明：延长BG与DE交于H点，则根据∠DGH+∠GDH=90°可以证明∠DHG=90°，即BG⊥DE；
（2）存在，△BCG和△DCE可以通过旋转重合．求证△BCG≌△DCE即可．

解答：证明：（1）延长BG与DE交于H点，
BG⊥BD，且BG=DE．
在直角△BCG中，BG=

BC2+CG2

，
在直角△DCE中，DE=

DC2+CE2

，
∵BC=DC，CG=CE，
∴BG=DE．
在△BCG和△DCE中，

BC=DC CG=CE GB=ED

，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC，BG=DE，
又∵∠BGC=∠DGH，∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠DHG=90°，
故BG⊥DE，且BG=DE．

（2）存在，△BCG≌△DCE，（1）中已证明，
且△BCG和△DCE有共同顶点C，则△DCE沿C点旋转向左90°与△BCG重合．

点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边相等且各内角为90°的性质，本题中求证△BCG≌△DCE是解题的关键．