题目内容
（2012•日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）CG=BH；
（2）FC2=BF•GF；
（3）
| FC2 |
| AB2 |
| GF |
| GB |
分析：（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论；
（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论；
（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△BCG∽△BFC，利用相似比得出BC2=BG•BF，即AB2=BG•BF，结合（2）的结论求比．
（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论；
（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△BCG∽△BFC，利用相似比得出BC2=BG•BF，即AB2=BG•BF，结合（2）的结论求比．
解答：证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH；
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴
=
，
即FC2=BF•GF；
（3）同（2）可知，BC2=BG•BF，
∵AB=BC，
∴AB2=BG•BF，
∴
=
=
，
即
=
．
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH；
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴
| FC |
| BF |
| GF |
| FC |
即FC2=BF•GF；
（3）同（2）可知，BC2=BG•BF，
∵AB=BC，
∴AB2=BG•BF，
∴
| FC2 |
| BC2 |
| FG•BF |
| BG•BF |
| FG |
| BG |
即
| FC2 |
| AB2 |
| GF |
| GB |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由垂足得出互余关系求角相等，由边相等证明三角形全等，由角相等证明相似三角形，利用性质解题．
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