题目内容

【题目】如图1,AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且DF=BE.

(1)求证:CE=CF;
(2)在图1中,如果点G在AD上,且∠GCE=45°,那么EG=BE+DG是否成立,请说明理由.

(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,点E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.

【答案】
(1)

证明:在△CBE和△CDF中,

∴△CBE≌△CDF,

∴CE=CF;


(2)

解:EG=BE+DG成立,

∵△CBE≌△CDF,

∴CE=CF,∠BCE=∠DCF,BE=DF,

∵∠BCD=90°,∠GCE=45°,

∴∠BCE+∠DCG=45°,

∴∠DCF+∠DCG=45°,即∠FCG=45°,

∴∠FCG=∠GCE,

在△ECG和△FCG中,

∴△ECG≌△FCG,

∴GE=GF,

∴EG=BE+DG;


(3)

作CF⊥AD交AD的延长线于F,

由(2)得,DE=BE+DF,

设DE=x,

∵AB=12,BE=4,

∴AE=8,

∴DF=x﹣4,AD=12﹣(x﹣4)=16﹣x,

由勾股定理得,82+(16﹣x)2=x2

解得,x=10,

∴DE的长为10.


【解析】(1)证明△CBE≌△CDF,根据全等三角形的性质证明;(2)根据全等三角形的性质得到CE=CF,∠BCE=∠DCF,BE=DF,证明△ECG≌△FCG,根据全等三角形的性质解答;(3)根据(2)的结论和勾股定理计算即可.

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