Question

（2013•山西模拟）如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C₁处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点C₁处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）
（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
（3）如图②，假设昆虫甲从顶点C₁，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C₁C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1s）．参考数据：

19

≈4.4，

21

≈4.6．

Answer 1

分析：（1）当相邻两个面放在同一平面内时，过AC₁的线段必过公共棱的中点，按此方法，可画出A，C₁所在的相邻面的所有公共棱的中点；
（2）根据昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，得出AC₁=

202+102

=10

5

cm，即可求出所行时间；
（3）联系（1）中的4个结论，分别画出图形，利用勾股定理求得两点间的最短路线，进而求解．

解答：解：（1）画出图①中A?E₂?C₁，A?E₃?C₁，A?E₄?C₁中任意一条路径；（E₁、E₂、E₃分别为各棱中点）
（2）如图2，根据昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，
AC₁=

202+102

=10

5

cm，
故昆虫乙至少需要爬行：10

5

÷2=5

5

秒，
答：昆虫乙至少需要5

5

时间才能捕捉到昆虫甲；

（3）由（1）可知，当昆虫甲从顶点C₁沿棱C₁C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：

可以看出，图②-1与图②-2中的路径相等，图②-3与图②-4中的路径相等．
①设昆虫甲从顶点C₁沿棱C₁C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，
如图②-1-1，在Rt△ACF中，
（2x）²=（10-x）²+20²，
解得x=10秒；
设昆虫甲从顶点C₁沿棱C₁C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E₂→F爬行捕捉到昆虫甲需y秒钟，
如图②-1-2，在Rt△ABF中，
（2y）²=（20-y）²+10²，
解得y≈8秒；
所以昆虫乙从顶点A爬行捕捉到昆虫甲至少需8秒钟．．

点评：此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．