Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，它的三边长分别为a，b，c，对于同一个锐角A的正弦，余弦存在关系式sin²A+cos²A=1试说明．
解：∵sinA=

 

，cosA=

 

．
∴sin²A+cos²A=

 

，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．
（1）在横线上填上适当内容；
（2）若∠α为锐角，利用（1）的关系式解决下列问题．
①若sinα=

4

5

，求cosα的值；cosα=

3

5

②若sinα+cosα=1.1，求sinαcosα的值．sinαcosα=0.105．

Answer 1

分析：阅读题意，找到关系式sin²A+cos²A=1，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来进行求解．

解答：解：（1）∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

．
∴sin²A+cos²A=

a2

c2

+

b2

c2

=

a2+b2

c2

，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．

（2）∵sinα=

4

5

，sin²A+cos²A=1，
∴cosα=

1-sin2α

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．

（3）∵sinα+cosα=1.1，sin²A+cos²A=1，
∴（sinα+cosα）²=1.21，
sin²A+cos²A+2sincosα=1.21，
1+2sincosα=1.21，
∴sincosα=（1.21-1）÷2=0.105．

点评：本题利用了锐角三角函数的概念和勾股定理对同角的三角函数的关系：sin²A+cos²A=1进行了证明和应用．